121.买卖股票的最佳时机

题目描述

• 给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
• 你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
• 返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例1：

输入： prices = [7,1,5,3,6,4]
输出： 5
解释： 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例2：

输入： prices = [7,6,4,3,1]
输出： 0
解释： 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

• 1 <= prices.length <= 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^4

解题思路

第i天有持有和不持有股票两种状态，故采用二维dp数组

1. 确定dp数组以及下标的含义 dp[i][0] 表示第i天持有股票所得的最多现金 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得的最多现金

2. 确定递推公式

   1. 第i天持有股票的情况：dp[i][0]，可以由买入和不买入两种情况决定

      • 情况1： 第 i 天 买入 股票，那么第 i 天所得现金即第 i 天持有股票所得现金: -price[i]
      • 情况2： 第 i 天 不买入 股票，那么第 i 天所得现金即第 i-1 天持有股票所得现金: dp[i-1][0]
      • 取上述两种情况的最大值，dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -price[i])

   2. 第i天不持有股票，dp[i][1]，可以由不持有和卖出两种情况决定

      • 情况1： 第 i-1 天不持有股票，那么保持现状，第 i 天所得现金即第 i-1 天不持有股票所得现金: dp[i-1][1]
      • 情况2：(i-1天持有股票) 第 i 天卖出股票，第 i 天所得现金即第 i 天卖出股票所得现金与前一天股票之和：price[i] + dp[i-1][0]
      • 取上述两种情况的最大值，dp[i][1] = max(dp[i-1][1], price[i] + dp[i-1][0]])

3. dp数组初始化

根据递推公式：
• dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -price[i])
• dp[i][1] = max(dp[i-1][1], price[i] + dp[i-1][0]])
  
dp[0][0]:表示第0天持有股票，就是第0天买入，即：dp[0][0] -= price[0]
dp[0][1]:表示第0天不持有股票，即：dp[0][1] -= 0


4. 确定遍历顺序

根据递推公式可以看出，dp[i] 都是由 dp[i-1] 推出来的，那么遍历顺序一定是从前往后遍历。

5. 打印dp数组

代码实现

• 核心模式

class Solution{
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices){
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));

        // initialize the DP array
        dp[0][0] = -prices[0];          // Hold the stock on the first day
        dp[0][1] = 0;                   // No shears held on the first day

        // traversal
        for (int i= 1; i < len; i++){
            dp[i][0] = std::max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
        }

        return dp[len - 1][1];
    }
};

• ACM模式

  ”dynamicPro.h"

#include <iostream>
#include "dynamicPro.h"

class Solution{
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices){
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));

        // initialize the DP array
        dp[0][0] = -prices[0];          // Hold the stock on the first day
        dp[0][1] = 0;                   // No shears held on the first day

        // traversal
        for (int i= 1; i < len; i++){
            dp[i][0] = std::max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
        }

        print2DVector(dp);              // define in "dynamicPro.h" 

        return dp[len - 1][1];
    }
};

int main(){

    vector<int> case1 = {7, 1, 5, 3, 6, 4};
    vector<int> case2 = {7, 6, 4, 3, 1};

    Solution solution;
    cout << "DP Array = " << solution.maxProfit(case1) << endl;
    cout << "DP Array = " << solution.maxProfit(case2) << endl;

    return 0;
}

• 输出

DP Array = [[-7, 0], [-1, 0], [-1, 4], [-1, 4], [-1, 5], [-1, 5]]
5
DP Array = [[-7, 0], [-6, 0], [-4, 0], [-3, 0], [-1, 0]]
0