123.买卖股票的最佳时机Ⅲ

题目描述

• 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
• 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。 注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例1：

输入： prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出： 6
解释： 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例2：

输入： nums = [1,2,3,4,5]
输出： 4
解释： 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票

示例3：

输入： nums = [7,6,4,3,1]
输出： 0
解释： 在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。

提示：

• 1 <= prices.length <= 3 * 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^5

解题思路

第i天对股票有以下几种状态：①未持有；②第一次持有；③第一次不持有；④第二次持有；⑤第二次不持有

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i][0] 表示第i天未持有股票所得的最多现金
   dp[i][1] 表示第i天第一次持有股票所得的最多现金=延续前一天第一次持有状态+今天第一次买入未持有
   dp[i][2] 表示第i天第一次不持有股票所得的最多现金=延续前一天第一次不持有状态+今天卖出前一天第一次持有
   dp[i][3] 表示第i天第二次持有股票所得的最多现金=延续前一天第二次持有的状态+今天买入第一次持有的股票
   dp[i][4] 表示第i天第二次不持有股票所得的最多现金=延续前一天第二次不持有状态+今天卖出第二次持有股票
   
2. 递推公式

• dp[i][0] = dp[i-1][0]
• dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
• dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])
• dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])
• dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]

3. dp数组初始化

• dp[0][0] = 0
• dp[0][1] = -prices[0]
• dp[0][2] = 0
• dp[0][3] = -prices[0]
• dp[0][4] = 0

4. 确定遍历顺序
根据递推公式可以看出，dp[i] 都是由 dp[i-1] 推出来的，那么遍历顺序一定是从前往后遍历。
5. 打印dp数组

代码实现

• 核心模式

class Solution{
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices){
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(5, 0));

        // initialize the DP array
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = -prices[0];
        dp[0][4] = 0;

        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = std::max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = std::max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = std::max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }

        return dp[len - 1][4];
    }
};

• ACM模式

”dynamicPro.h"

#include <iostream>
#include "dynamicPro.h"

class Solution{
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices){
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(5, 0));

        // initialize the DP array
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = -prices[0];
        dp[0][4] = 0;

        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = std::max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = std::max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = std::max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }

        print2DVector(dp);

        return dp[len - 1][4];
    }
};

int main(){
    vector<int> case1 = {3, 3, 5, 0, 0, 3, 1, 4};
    vector<int> case2 = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<int> case3 = {7, 6, 4, 3, 1};

    Solution solution;
    cout << "DP Array = " << solution.maxProfit(case1) << endl;
    cout << "DP Array = " << solution.maxProfit(case2) << endl; 
    cout << "DP Array = " << solution.maxProfit(case3) << endl; 

    return 0;
}

• 输出

DP Array = [[0, -3, 0, -3, 0], [0, -3, 0, -3, 0], [0, -3, 2, -3, 2], [0, 0, 2, 2, 2], [0, 0, 2, 2, 2], [0, 0, 3, 2, 5], [0, 0, 3, 2, 5], [0, 0, 4, 2, 6]]
6
DP Array = [[0, -1, 0, -1, 0], [0, -1, 1, -1, 1], [0, -1, 2, -1, 2], [0, -1, 3, -1, 3], [0, -1, 4, -1, 4]]
4
DP Array = [[0, -7, 0, -7, 0], [0, -6, 0, -6, 0], [0, -4, 0, -4, 0], [0, -3, 0, -3, 0], [0, -1, 0, -1, 0]]
0