309.买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目描述

• 给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​
• 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
  注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例1：

输入： prices = [1, 2, 3, 0, 2]
输出： 3
解释： 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例2：

输入： prices = [1]
输出： 0

提示：

• 1 <= prices.length <= 5000
• 0 <= prices[i] <= 1000

解题思路

1. 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示第i天j状态下股票所得的最多现金

• dp[i][0]：持有股票的状态

  • 第i天买入
  • 第i-1天持有，第i天不操作， 保持持有状态

• dp[i][1]：保持卖出股票的状态

  • 冷冻期后的1天或n天

• dp[i][2]：实际卖出股票的状态，特指在第i天卖出股票 → 下一天为冷冻期

• dp[i][3]：冷冻期的状态

2. 递推公式

• dp[i][0]：持有股票

  • 第i天买入：看前一天状态

    • 前一天为冷冻期：dp[i][0] = dp[i-1][3] - prices[i]
    • 前一天为保持卖出状态：dp[i][0] = dp[i-1][1] - prices[i]

  • 第i-1天持有：dp[i][0] = dp[i-1][0] dp[i][0] = max(dp[i-1][3] - prices[i], dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][0])

• dp[i][1]：保持卖出股票状态

  • 第i-1天保持卖出股票状态：dp[i][1] = dp[i-1][1]
  • 第i-1天保冷冻期状态：dp[i][1] = dp[i-1][3] dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3])

• dp[i][2]：实际卖出股票，前一天持有， 后一天冷冻期 dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]

• dp[i][3]: 冷冻期，前一天必须卖出股票 dp[i][3] = dp[i - 1][2]

3. dp数组初始化

• dp[0][0] = -prices[0]
• dp[0][1] = 0：根据递推公式来初始化
• dp[0][2] = 0：同上
• dp[0][3] = 0：第一天冷冻期，根据递推公式初始化为0

4. 确定遍历顺序
根据递推公式可以看出，dp[i] 都是由 dp[i-1] 推出来的，那么遍历顺序一定是从前往后遍历
5. 打印dp数组

代码实现

• 核心模式

class Solution{
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices){
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;

        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(4, 0));

        //initialize the DP array
        dp[0][0] = -prices[0];

        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][3] - prices[i], max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][0]));
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }

        // The maxProfit may appear in state1, state2 and state3
        return max(dp[len - 1][1], max(dp[len - 1][2], dp[len - 1][3]));
    }
};

• ACM模式
"dynamicPro.h"

#include <iostream>
#include "dynamicPro.h"

class Solution{
public:
    int maxProfit(const vector<int>& prices){
        using std::max;
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;

        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(4, 0));

        //initialize the DP array
        dp[0][0] = -prices[0];

        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][3] - prices[i], max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][0]));
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }

        print2DVector(dp);

        // The maxProfit may appear in state1, state2 and state3
        return max(dp[len - 1][1], max(dp[len - 1][2], dp[len - 1][3]));
    }
};

int main(){
    vector<int> case1 = {1, 2, 3, 0, 2};
    vector<int> case2 = {1};

    Solution solution;
    cout << "Result1's DP array = " << solution.maxProfit(case1) << endl;
    cout << "Result2's DP array = " << solution.maxProfit(case2) << endl;
}

• 输出

Result1's DP array = [[-1, 0, 0, 0], [-1, 0, 1, 0], [-1, 0, 2, 1], [1, 1, -1, 2], [1, 2, 3, -1]]
3
Result2's DP array = [[-1, 0, 0, 0]]
0